微言要义：对应法则为何要改为对应关系

                       苏雯雯 徐章韬

   摘要：教材语言表述的微变有其编写的良苦用心，新教材将函数的核心要素的提法由“对应法则”改为“对应关系”也有其道理。从三个角度展开研究：从语义的角度理解“法则”与“关系”的区别，再从数学和教学的角度理解“对应关系”和“对应法则”的不同。“对应关系”更能揭示函数的本质，更有利于学生建构函数概念，更有利于体现结构化教学的思想。

关键词：法则；关系；函数；对应关系；对应法则

1引言

课本是实现教学目标、实施教学的重要资源。教师应当学会欣赏课本，从句子品读，体微言大义；从结构品读，获教学智慧。^[1]新课标版实验教材（A版）把函数三要素中的“对应法则”改为了“对应关系”，这并非是数学语言偶然的微变表述，而是深有意蕴。这样的例子还有一些。如，新教材把“重要不等式”改为了“基本不等式”。章建跃老师指出像“为什么把

叫做‘基本不等式’”这样的问题是需要认真思考的数学问题，并且从四个角度进行了分析。^[2]从文[2]的分析中，我们可以体会到“基本不等式”比“重要不等式”更能体现该不等式的教学意义。又如，新教材把《正切函数的图象与性质》改为《正切函数性质与图象》，这种表述上的变化体现了教材编写者的良苦用心。教材先讨论正弦函数的图象与性质，后讨论正切函数的性质与图象，体现了思维的互逆性。^[3]在由形到数和由数到形的过程中，给学生提供了一个完整的认识函数的机会。这种表述和处理方法还具有扩展性。高等数学中，经常是先利用导数讨论性质，再根据性质画图象。这正是《正切函数的性质与图象》这节教材中所蕴含的思想的扩张——用数来驱形，这就是解析、分析的思想。可见，新教材在某些数学语言表述上的变化，不是简单地换个说法，而是有深刻的道理。对于新教材中函数三要素中的核心要素为何描述为“对应关系”而非“对应法则”，很多教师认为两个提法不过是同一内容的不同表述罢了，没有研究的必要，但我们认为挖掘这些语言微变背后隐含的道理，可以加深我们对数学及其教学的理解。

2新旧提法有何不同

如果说对应关系与对应法则没有任何区别，那么从语义上考虑，我们必定疑惑：“洛必达法则”为何不称为“洛必达关系”？“包含关系”为何不称为“包含法则”？如果在语义上有区别，那我们又必会疑惑:在函数三要素中“对应关系”与“对应法则”到底哪个提法更好？本文从三个角度研究“对应关系”与“对应法则”有何异同。

2.1从语义上理解

在字面上，新旧提法只有“法则”和“关系”的区别。先从语义上弄清“法则”与“关系”。查阅词典，二者的名词解释如下:

法则：①规律（事物间的必然的联系），如自然法则；②同规则（规定后大家共同遵守的制度和章程）。关系：①事实之间相互作用、互相影响；②人与人或人和事物之间的某种性质联系；③对有关事物有影响；④泛指原因（如由于时间关系）；⑤表明某种组织关联的证件（如组织关系）。^[4]

由以上的释义可知，法则或为事物间的必然的联系，或人们制定的规则、章程等；而关系主要为事物间的联系与相互作用。

（1）法则更明晰，而关系却不一定

法则是事物间非常明晰的联系，一般为人们总结出来的规则或者方法等。如“四则运算法则”是清晰明确的指导加、减、乘、除运算的规则，具有可操作性。还有社会生活中的交通规则、交通法则，等。

而关系是事物间的联系，有的明晰，有的模糊，明晰的关系可以转变称作法则，而模糊的关系则不能称作法则。例如，两事物之间存在逆变关系，如果这种关系可明晰表述为

这样的反比例函数关系，我们就说两个事物之间具有

这样的对应法则.又如，“二八法则”是描述社会现象中某种微妙关系，这种关系在数学上呈现出一种稳定的关系，描述了部分与整体在财富分配等方面明晰的规律。又如，不能将“部分与整体关系”改为“部分与整体法则”，这会导致以偏概全的错误，因为部分与整体之间的关系并不都表现为明晰的规律，“部分与整体法则”的提法就不具有科学性和实际意义。

（2）关系更具概括性，法则更具针对性

任何事物之间都存在联系，关系无处不在，关系所涵盖的事物范围可大可小；同时，当关系越基本，事物间的联系越有普遍性，关系所囊括的对象越广泛。例如，“等价关系”指出事物本质属性是等同的，它所涉及的对象可以是具有同构关系的两个结构，也可以是可以互推的数学命题。

而法则呈现的是一种方法和规则，揭示的是事物在某一方面的具体定律。如，洛必达法则揭示的是

与

之间的联系，函数

与

必须是满足三个条件才可以得到运算规则：

=

。可见，洛必达法则是针对特定的两个函数，揭示了存在于函数之比与导数之比之间的极限运算规则。又如，卡尔达诺的黄金法则，揭示了方程的根与系数之间的规律，呈现了由方程的系数求最接近真实根的规则方法。卡尔达诺的黄金法则只是方程根与系数关系的一种具体表达；而方程根与系数的关系，还有韦达定理等。

（3）法则可以人为制定，关系不可强加

法则可以是人们制定的规则、章程，以解决实际生活中遇到的各种各样的问题。如中学生守则是学校规定的中学生必须遵守的法则，以约束学生的行为，维护学校正常的教学秩序。又如数的运算法则，实际上是人为规定的，只是这种规定通常是根据数域本身的性质而制定，具有合理性。事实上，在抽象代数中，人们可以构造不同的数域，从而制定不同的运算法则。

关系没有法则的主观意味，关系是存在于事物之间的客观联系，是不可强加的。如中学生守则集中体现了学校对中学生思想品德和行为规范的基本要求，但中学生表现出的思想品德和行为规范并非都如守则要求的那样，可见守则并非就是客观存在的关系，不可将其改称为“中学生关系”。两个事物“风马牛不相及”，我们可以制定一些法则约束它们的行为，但不能使它们强行产生关系。例如，性质是概念的构成要素之间的稳定的联系、关系，不可说成是稳定的法则，虽然我们可以在概念的构成要素之间建立一些法则，但那不是“确定的关系”“稳定的联系”。^[5]

（4）法则的命名与关系的命名有所不同

法则常以人名或者以形象揭示规律的特征来命名，如洛必达法则、丛林法则、刺猬法则及关系-映射-反演法则等。而关系则不一定，可以以联系的对象、联系的模糊性特征或者联系的本质特征等命名，却很少以人名命名。表述关系时前面一般有主语对象，如集合A与集合B的关系、C与D相似及E与F等价等等。

由（1）（2）（3）可知，“包含关系”是两集合之间客观存在的一种关系，这种关系不一定是一种明晰的法则，不可说成“包含法则”。由（1）（2）（3）（4）可知，“洛必达法则”从语义上就可体现出它是与洛必达有关的一个明晰的方法规则^[6]，使用范围很明确，所以比“洛必达关系”的提法好。

2.2从数学上理解

从语义上理解，“法则”与“关系”不是等价的说法，那么再从数学上理解，“对应法则”与“对应关系”有何异同。

(1)函数的本质是一种关系，是变量间的一种对应关系

函数概念的发展经历了“变量说”、“对应说”和“关系说”。“变量说”突出函数是两个变量间的依赖关系，“对应说”进一步明确这种依赖关系是一种“对应关系”，而“关系说”避开未经定义的“对应”，直接用集合论的语言定义函数为一种特殊的关系。由关系的数学定义可知，对应是集合间的一种关系，故函数的本质就是变量间的一种对应关系。随着函数概念定义方式抽象化程度的加深，函数概念的本质越来越明晰，函数本质上就是一种特殊的“关系”。所以，函数三要素中的核心要素称为“对应法则”不如改称为“对应关系”，这样才能更好地揭示函数的本质。

(2)对应法则是对应关系的特殊形式

已经讨论过“法则”与“关系”在语义理解上的区别，法则是明晰的，而关系则不一定。在函数概念的定义中，从数集

到数集

的对应关系

是指在

中的任一元素

，在

中都有唯一确定的

与之对应。这种“唯一确定的对应”即是我们要找的“对应关系”。这种关系往往是明晰的，因为大多数情况下可用明确的解析式或者表格或者图象来表示。也就是说，对应关系表现出来的就是一种对应规则、对应手段。故将“对应关系”称为“对应法则”也不无道理，但有时对应关系往往表达不出来，如隐函数的存在就说明了这点。另外，对应法则给人的感觉是要呈现出一种结果，是对应关系的特殊形式。对于初次接触“对应”的学生来说，容易误将“对应法则”理解为规则、方法或数学解析式，不利于函数本质的理解，故函数三要素的核心要素用“对应关系”表述更佳。

(3)对应关系

可表示任意函数，也可表示具体函数

从语义上理解，“关系”更具囊括性，“规则”更具针对性。对于具体数集之间的对应可用确定的对应法则表示，如图象、表格或数学解析式；但对于任意函数，虽然每一个函数都有其确定的对应法则，但每一个函数的对应关系并不一样，用“对应关系”更能体现出所有函数的共同本质是“对应”这种关系。所以针对具体的函数，“对应法则”和“对应关系”是等价的提法；在定义抽象函数时，由于是针对任意函数而言的，故“对应关系”的提法比“对应法则”更合适。

2.3从教学上理解

新教材将旧提法“对应法则”改为“对应关系”，不仅更能揭示函数概念的本质，而且更有利于学生的学习。

（1）贴近学生的数学现实，有利于函数概念的建构

实际上，函数概念在初中时就以“变量说”的定义形式给出，在高中用“对应说”定义函数时，学生的认知结构中对函数的认知表象是“变量间的依存关系”。高中教材中，函数概念这节教学内容安排了三个具体实例，学生很自然地看到具体实例中两个变量之间存在的依赖关系，通过已有的经验和教师的引导会进一步认识到两个变量之间的依存关系其实是一种对应关系，进而沿着关系这个关键词进入到“对应说”下的函数概念的建构之中。如果用“对应法则”的提法，学生会觉得很唐突，而且极有可能会陷入函数就是一种数学解析式的误区。有研究已经证明了这点。^[7]

（2）更有利于体现结构化教学的思想

结构化的教学要保持思想方法的前后一致性。^[8]概念保持不变的属性才是它的本质属性。函数概念中，变量可以是数，也可以是函数，如泛函数；函数可以是单值对应，也可以是多值对应，如复变函数。故函数概念的本质属性是元素间的“对应”关系。用“关系说”定义函数是最严谨的。^[9]而人教A版新教材考虑到学生的认知水平、接受能力，只考虑实数集上的单值函数。教材用“对应说”将函数定义为“数集间的单值对应”，也能揭示函数的本质属性是变量间的“对应”。高中教材中将函数的核心要素描述为“对应关系”，而不是“对应法则”，更加突出函数是两个数集之间的一种关系。对应关系这种提法暗示学生，函数是在研究两个集合之间的关系，和教材中研究两集合的包含关系具有一脉相承性。在函数之后，教材还安排了映射，实际上函数是特殊的映射，映射也是特殊的“关系”。这样，从作为特殊映射的函数到映射以及后继学习中的“关系”，形成一个相互联系的知识脉络，有利于学生更加完整地感受数学知识结构之间的联系。

4结语

教科书凝结了许许多多数学教育工作者的心血，虽非圣书，但字字句句都是经过推敲打磨的，都闪烁着智慧的光芒。教师安排教学须立足于课本，从教材细微之处入手，多问为什么教材这样“说”而不是那样“说”、为什么这样安排“教学”而不是那样安排，聚焦于“微变”背后的“大义”，从而提高对数学的理解，对教材的设计理念和背后蕴含的教育价值的理解，进而才能更好的理解数学教学。

参考文献：

[1]裴光亚.数学教师的专业发展：在书房与教师间穿行的教研人生[M].西安：陕西师范大学出版总社有限公司，2013:27-30.

[2]章建跃.发挥数学的内在力量为学生谋取长期利益[J].数学通报，2013（02）：1-6,10.

[3]徐章韬，彭树德.如何才能“想清楚”[J].中小学数学，2014（03）：1-2,24.

[4]雅图辞书编委会编.新编现代汉语大词典[M].长春：吉林出版集团有限责任公司，2012:301-302,430-431,418-419.

[5]章建跃.如何理解“数学是玩概念的”[J].中小学数学，2015（01）：封底.

[6]汪晓勤.0

0：花钱“买”来的法则[J].科学与文化,1998,(2):56-57.

[7]任明俊,汪晓勤.中学生对函数概念的理解——历史相似性初探[J].数学教育学报,2007,(4):84-87.

[8]章建跃.数学课堂教学设计研究[J].数学通报,2006,(7):20-26.

[9]李祎，曹益华.函数概念的本质与定义方式探究[J].数学教育学报，2013（06）：

5-7.