例谈映射法在解题中的巧用
发布时间：2018年01月26日 10:35 
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例谈映射法在解题中的巧用
苏雯雯
映射法是通过找到某种对应关系将原问题转化为更易解决的新问题（即映射），求得新问题的解答后再通过逆映射求得原问题的解答（即反演）.[1]映射法是化归的重要手段，使用映射法的目的是期望更高效地解决问题.本文通过对比试题的两种解法谈谈映射法如何解题，体验从映射法的视角解题的妙处.
例1 （2014课标I，8,）设
，
，且
，则（ ）
A.
B.
C.
D.
解法一：由
得
，
,即
.
又
，
，
，
，
，即
.故选C.
思考：法一是较为普遍的纯代数解法，需要对三角恒等公式使用较为熟悉，需考虑角度的范围；同时，式引进
是解法一的关键，这样才能凑配得到答案.但学生不易快速想到式，是否有更为简单的巧妙的解法呢？仔细观察所求分式，联想到斜率，可将原式转化成
，因点
与单位圆上的点一一对应，故可将
看成是单位圆上点
与点
连线的斜率，从而可从几何的角度解题.
图1
解法二：设
,
,
，
，
.
如图1所示，易得
，故
,即
.故选C.
点评：法二是将三角函数与单位圆建立一一映射关系，将原代数问题转化为几何问题，进而整个解题过程变为更简单的求解几何图形中角度的关系，解题过程更加流畅、简单、自然；同时，通过法二，学生更能理解三角函数是关于角度变化的函数，“数”与“形”可巧妙转换.
例2 （2014安徽，10）在平面直角坐标系
中，已知向量
，
，
，
，点
满足
.曲线
，
，区域
，
.若
为两段分离的曲线，则（ ）
A.
B.
C.
D.
解法一：不妨设
，
，则
.
，
‚.
.
曲线
，
，
曲线
为单位圆.
又
，
，且
为两段分离的曲线，
真包含于
且端点不重合.故选A.
思考：解法一先是将向量与平面上的点对应，求出
的取值范围，而后又利用向量与单位圆的对应关系，数形结合解决问题.既然问题的最后解决离不开“形”，且单位向量和单位圆是一一对应的，为何不考虑从开始就将问题转变为几何模型？不妨一试.
图2
解法二：由题知
，
为正交的单位向量，故不妨设
，
，则
，
，曲线
，
对应单位圆.
所在直线与单位圆交于
、
两点（如图2所示），
显然
,
，即
.
为两段分离的曲线，
点
不能与点
、
重合，即
.故选A.
点评：法二将单位向量与单位圆对应，从而将原问题转化为线段最值问题，清晰明了；同时，学生更能体会向量是具有“形”方面的特点，可以作为解决几何问题的有利工具.
例3 （2012湖北，6）设
是正数，且
，
，
，则
（ ）
A.
B.
C.
D.
解法一：由题设及柯西不等式得
=20，当且仅当
时等号成立.
令
，则
，解得
.
.
思考：已知条件中的三个等式容易让人联想到柯西不等式，此法较为普遍，而柯西不等式与向量不等式（
）是等价，那么是否可用向量来求解呢？不妨一试.
解法二：令
，
，则由题可得
，解得
，故
且同向，即
.
，故
.
点评：法二将向量与不等式对应起来，将原问题转化为求解两向量对应的坐标之间的比值.实际上向量模长不等式与柯西不等式是一一对应的，学生在求解不等式时联想到向量也是自然的；同时，学生也可体会到向量在“数”方面的特征，可以作为解决代数问题的有利工具.
例4 （2013四川成都二模，15）
是椭圆
上的任意一点，
、
是它的两个焦点，
为坐标原点，有一动点
满足
,则动点
的轨迹方程是 .
图3
解法一：如图3，作点
关于原点的对称点
,连接
、
及
，则四边形
是平行四边形,故
.
设
，则
，即点
.又
点
是椭圆上任意一点，
，即点
的轨迹为
.
思考：解法一将向量与平面上的点对应，根据向量加法的平行四边形法则结合已知条件构造出点
与点
的坐标间的关系，从而数形结合地解决问题.考虑到向量与复数是一一对应的，本题可否用复数法直接解决？不妨一试.
解法二：设点
对应为复数
，点
为
，则
可表示为
（其中
为椭圆的半焦距），故
，即
代入椭圆方程得
.故点
的轨迹为
.
点评：法二将向量与复数建立一一映射关系，将向量问题映射为复数问题，不需要再结合图形考虑向量的运算，在求解过程中更为简便.因为复数运算与向量运算不同，复数点乘后还是复数，而向量点乘后变为了实数，且向 量没有除法而复数有；复数运算过程中不仅有数的运算而且有形的运算（即
）.
例5 （2014课标I，20）已知点
,椭圆
的离心率为
，
是椭圆
的右焦点，直线
的斜率为
，
为坐标原点.
（1）求
的方程；
（2）设过点
的动直线
与
相交于
,
两点.当
的面积最大时，求
的方程.
说明：这里主要讨论第（2）问，第（1）问答案为：
（过程略）.
解法一：当
轴时，即
与
轴重合，不合题意.
‚直线
斜率存在.设
，
，
.
将直线方程与椭圆方程联立得
,
时，
，
，
，
.
又
点
到直线
的距离
，
.
设
（
），则
，当且仅当
时，即
时等号成立，且
.
故当
的面积最大时，
：
或
.
思考：解法一是采用传统的解析式法，即联立方程求解问题，计算较为复杂.考虑到圆锥曲线有其统一的第二定义，它们是相互仿射的，即可以通过变换相互转换，且结合关系和面积比是仿射变换下的不变量.[1]故不妨考虑将椭圆的横坐标压缩2倍、纵坐标不变，化为圆来求解.
图4
解法二：由（1）知椭圆的方程为
，设
，
.
当
轴时，即
与
轴重合，不合题意.
‚当直线
斜率存在时，设
.
令
代入椭圆和直线方程得
,
.
圆
与直线
交于
,
两点（如图4），则
面积最大等价于
的面积最大.
,
最大时，
,即
为等腰直角三角形.
点
到直线
的距离
，
解得
.
当
的面积最大时，
：
或
.
点评：法二通过将椭圆仿射为圆，从而将较为复杂的椭圆上面积最大问题转化到更为简单的圆上面积最大问题，解题过程变得非常简单.此法可使学生更加明白椭圆与圆之间的联系，但使用此法需要强调哪些量是变化中的不变量，从而判断可否采用此法解题.
结语：使用映射法的关键是找到映射关系，从而使得问题化繁为简、化难为易.但它要求学生具有较强的知识联系能力及创造性能力，因此，需要教师多引导学生从多个角度解题，不断提高学生水平.
参考文献：
[1]熊惠民.数学思想方法通论[M].北京：科学出版社，2010：20-26.
